虚数到底有什么意义？从 i 说起

存在？ 不存在？ 莱布尼茨就曾说：虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐秘所，它大概是介于存在与不存在之间的两栖动物。 连大神都这样形容虚数，然而各位模友还记得当初老师跟我们讲虚数的时候是怎样讲的吗？ 是不是直接说 i² = -1呢。 小天连连点头：老师就是这样说的。实话说，我现在也不知道为什么是这样。只知道 。。。 那今天超模君就从 i 说起吧。 关于 i 的定义，首先，我们在实数轴上标好1和-1。 现在我们将数轴的正向部分，绕着原点逆时针旋转180°，这样， 1就变成了-1。 那如果我们分开两次来旋转，就变成了这样： 这时，你是不是已经发现数轴上的那一个小小的 i 了？ 小天迷糊中。。。事实上， i 的本质是单位周期结构最基本形式，它并不是一个数，确切地说就是一个旋转量。 而关于这个旋转量，根据上面所说的旋转变换，我们可以列出这个关系式： 1·(逆时针旋转90°) ·(逆时针旋转90°) = -1 即(逆时针旋转90°)²= -1。 现在我们将"逆时针旋转90°"记为 i ，终于得出了老师们讲的 i² = -1。 因此， i 就是意味着逆时针旋转90°，-i 就是顺时针旋转90°。 下面这个图就很直观的表达了关于 i 的运算。 也许会有人觉得困惑：为什么要给-1开平方？这样转换来转换去的到底有什么用？ 别急，我们先讲讲复数的定义。 现在，我们将纵轴作为虚数轴，横轴作为实数轴。 如果我们不是旋转90°，而是旋转45°的话，就得到了 1 i 。 任意实数旋转某一个角度所得到的点就用 a bi 来表示，这就是复数的定义式。 虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。 比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 i ，另一个力是 1 3i ，请问它们的合成力是多少？ 根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 i ) ( 1 3i ) = ( 4 4i )。 这就是虚数加法的物理意义。 如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。 假设我们现在一艘船上，船的航向是 3 4i ，我们现在将船的航向逆时针旋转45°，那么，我们最新的航向应该如何表示？ 45°的航向就是 1 i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 4i 与 1 i 相乘就可以了。（为什么要相乘呢？） 所以，新的航向就是 -1 7i 。 这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。 任何复数 a bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。 假定现有两个复数 a bi 和 c di，可以将它们改写如下： a bi = r1 * ( cosα isinα ) c di = r2 * ( cosβ isinβ ) 这两个复数相乘，( a bi )( c di ) 就相当于 r1 * r2 * ( cosα isinα ) * ( cosβ isinβ ) 展开后面的乘式，得到 cosα * cosβ - sinα * sinβ i( cosα * sinβ sinα * cosβ ) 根据三角函数公式，上面的式子就等于 cos(α β) isin(α β) 所以， ( a bi )( c di )＝r1 * r2 * ( cos(α β) isin(α β) )